Tiefpass

Ein Tiefpass ist nichts anderes als ein einfacher Spannungsteiler. Er enthält anstatt rein ohmscher Widerstände auch Bauteile, die einen frequenzabhängigen, daher auch genannt "komplexen" Widerstand aufweisen. Dies können Kondensatoren und/oder Induktivitäten sein. Ein Tiefpass hat mindestens einen Energiespeicher, dies kann wiederum entweder ein Kondensator oder eine Induktivität sein. Hat er mehr als einen nennenswerten Energiespeicher so spricht man von einem Tiefpass höherer Ordnung, bei zwei Energiespeichern nennt man dies zweiter Ordnung, bei drei dritter Ordnung usw.

In der Realität sind Tiefpässe rein erster Ordnung nicht realisierbar, parasitäre Elemente sorgen immer für höhere Ordnungen, auch reines Tiefpassverhalten gibt es in der Realität nicht, ab irgendwelchen Frequenzbereichen können die Verhältnisse sich stark verändern oder gar umkehren. Was ich damit sagen will ist, das gewünschte Verhalten ist sehr oft gut definiert für die betrachteten Frequenzbereiche, in diesen läßt sich auch erste Ordnung realisieren, aber nur da wo der eine Energiespeicher dominant ist.

Tiefpass Filter bedeutet die tiefen Frequenzanteile passieren den Filter, die höheren werden mehr oder weniger stark gedämpft. Tiefpässe sind in der Elektrotechnik überall anzutreffen, bspw. Glättungskondensatoren nach einem Brückengleichrichter, Eingangsfilter an Verstärkereingängen, Power Supply Bypass Kondensatoren an IC's und Operationsverstärkern um nur ein paar populäre Anwendungen zu nennen.

Außerhalb der Elektrotechnik könnten auch dies Tiefpässe sein:

  • mach mal schön langsam.

  • nur keine Hektik, mich interessieren nur konstantere Dinge.

  • wenn's im Winter nur einen Tag Frost hat, friert der See noch lange nicht ein.

  • nur einen Tag lang deinen Schotter zu sparen bringt nicht viel, genauso wenig wie einen Tag über deine Verhältnisse gelebt dich nicht arm macht (normalerweise zumindest, es sei denn etwas extremes passiert, z.B. du heiratest die falsche Frau in einem Lande mit merkwürdiger Rechtssprechung).

  • Ein Tiefpass hat ein integrierendes, ein auf Systeme beruhigendes, verzögerndes Verhalten.

Der am häufigsten angewandte Tiefpass besteht aus einem Widerstand in Reihe mit einem Kondensator und soll im weiteren näher untersucht werden.

Numerische Berechnung mit einem Simulationsprogramm

Tiefpass erster Ordnung aus Widerstand und Kondensator

Das Bild zeigt einen Tiefpaß erster Ordnung aus einem Widerstand und einen Energiespeicher, einem Kondensator. Der Schaltplan und die Simulation erfolgte mit dem kostenlosen Simulationsprogramm Switcher Cad 3 von www.linear.com

Es wird mit dem Programm zunächst eine AC Analyse durchgeführt. An der Spannungsquelle V1 wird eine sinusförmige Wechselspannungsamplitude von 1 Volt eingestellt. Die Frequenz verändert sich von 1 Hertz bis auf 1 MHz. In kleinen Frequenzschritten wird diese nun erhöht und jeweils dafür die Spannungen in der Schaltung berechnet.

Bodediagramm des simulierten Tiefpass erster Ordnung

die Simulation zeigt nun das Bodediagramm der Ausgangsspannung "output" des Tiefpass. Ein Bodediagramm bezeichnet den Amplitudengang zusammen mit dem Phasengang. Es zeigt wie Amplitude und Phase zusammen mit der Frequenz "gehen". Die durchgezogene Linie ist der Amplitudengang, die gestrichelte Line der Phasengang. Zur besseren Darstellung eines weiten Zahlenbereiches wurde eine doppelt logarythmische Darstellung gewählt, sowohl in der Frequenz- als auch in der Amplitudenachse, die Skala für die Phasenverschiebung ist linear.

Ein in der Terminologie der Elektrotechnik bedeutender Punkt bei dieser Tiefpassbetrachtung ist der Punkt der Bandbreite oder  Grenzfrequenz in der Filtersprache. Im gezeigten Beispiel liegt er geschätzt bei etwa 3,169 kHz. Bei dieser Frequenz fällt die Spannung am Ausgang um -3 Dezibel ab. Der Cursor kennzeichnet diesen Punkt relativ genau. Bei der doppelt logarythmischen Darstellung fällt dieser Punkt ins Auge als der Knickpunkt, an der der Amplitudengang deutlich zu fallen beginnt. Die Amplitude im Tiefpass erster Ordnung fällt nach dem Punkt der Bandbreite mit einer Steilheilt von -20 dB/Frequenzdekade. Am Beispiel der 100 kHz/-30dB und den 1 MHz/-50dB ist das schön zu beobachten. Auch merkenswert ist zu wissen, nach der Genzfrequenz, fällt die Amplitude pro Oktave um -6,02dB wobei eine Okatave eine Frequenzverdoppelung ist. Im Diagramm gut zu sehen bei 100 kHz/-30dB und 200 kHz/-36dB.

Bedeutung hat auch die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangssignal, sie verläuft von DC Signalen und bei niedrigen Frequenzen sehr nahe Null Grad. Dann beginnt sie rasch zu fallen und hat im Punkt der -3 dB Bandbreite exakt -45.000... Grad, für noch höhere Frequenzen läuft sie asymptotisch gegen  minus 90 Grad, wird diese -90 Grad aber niemals erreichen sondern ihr nur unendlich nahe kommen, so gilt das zumindest in der Theorie für erste Ordnung, in der Praxis gibt es das natürlich nicht, somit wird sie die -90 Grad überschreiten, die asymptotische Aussage hat daher nur akademischen Charakter.

Zeitsignal Eingang und Ausgang bei Bandbreitenfrequenz

Die Simulation zeigt das Zeitsignal der Eingangsspannung in Blau von 1 Volt Amplitude bei der Grenzfrequenz von ca. 3,169 kHz. Dazugehörig die Ausgangsspannung in Grün mit einer Amplitude von etwa 0,707 Volt (-3dB) bei natürlich auch 3,169 kHz. Ein Tiefpass mit streng linearen idealen Widerständen und Kondensatoren fügt keine neuen Frequenzanteile hinzu. Besonders auffallend ist, daß das Ausgangssignal bei Beginn der Simulation nicht sinusförmig einschwingt ! - das ist korrekt so.  Dieses Ausgangssignal ist erst nach etwa 1-2 ms eingeschwungen.

Eine analytische komplexe Rechnung gilt daher nur für eingeschwungene Sinussignale, das ist ganz wichtig und immer zu beachten. Sollen auch die Einschwingvorgänge berechnet werden, können zur Berechnung Differentialgleichungen herangezogen werden oder wie im Beispiel die numerische Berechnung hier mittels Simulationsprogramm.

Komplexe Berechnung

Für eine komplexe Rechnung ist es sinnvoll die Übertragungsfunktion des Tiefpass für eingeschwungene sinusförmige Signale zu berechnen. Die Übertragungsfunktion ist eine wichtige Gleichung für viele regelungstechnische Systeme, wie aktive und passive Filter oder auch Verstärker. Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis aus Ausgangsgröße zu Eingangsgröße. In diesem Fall hier das Verhältnis Ausgangsspannung Uout zu Eingangsspannung Uin.

Die linke Seite zeigt wie auf Basis der Maschenregel und der Knotenregel die Übertragungsfunktion dieses Netzwerkes Tiefpass erster Ordnung hergeleitet werden kann.

  1. Die oberste Zeile ergibt sich aus der einzigen in diesem Netzwerk vorhandenen Kernmasche

  2. Die zweite Zeile zeigt die Schaltung hat nur einen Stromknoten, daß bedeuted hier alle Bauelemente befinden sich in Reihenschaltung und werden daher vom gleichen Strom durchflossen

  3. Die dritte Zeile beschreibt den komplexen Widerstand Xc des Kondensators, dieser ist umgekehrt proportional zur Kreisfrequenz Omega (2pi) und der Frequenz f, wobei Omega=2pi*f ist. Der Buchstabe kennzeichnet die imaginäre Einheit, j steht hier für die zweite Wurzel aus -1

  4. Die vierte Zeile verknüpt den Strom i mit der Größe uout das gleich der Kondensatorspannung ist

  5. Die fünfte Zeile ersetzt den unerwünschten Ausdruck Xc

  6. Die sechste Zeile verknüpft die Strom mit der Maschengleichung

  7. Die siebte Zeile eliminiert den Strom aus dem Gleichungssystem

  8. Die achte Zeile ist die vereinfachte siebte

  9. Die neunte Zeile ist die gesuchte komplexe Übertragungsfunktion

komplexe Rechnung des Amplituden und Phasengang eines Tiefpass

Mit Hilfe der komplexen Übertragungsfunktion kann nun der Amplitudengang als auch der Phasengang dargestellt werden.

  1. die oberste Zeile definiert die imaginäre Einheit j=zweite Wurzel aus -1 und den grafisch dargestellten Frequenzbereich von 1 Hz bis 1 MHz, sowie die Schrittweite 4 Hz.

  2. die zweite Zeile definiert die Variable R=50 Ohm und C=1 Mikrofarad

  3. die dritte Zeile ist die Gleichung für den Amplitudengang, der Absolutbetrag der komplexen Übertragungsfunktion

  4. die vierte Zeile ist die Gleichung für den Phasengang, das Argument (Winkel) der komplexen Übertragungsfunktion, hier gewandelt in die 360 Grad Darstellung mittels 180/pi.

Dem ungeübten Leser sei hier dringend empfohlen sich mit den Grundlagen der komplexen Zahlen zu beschäftigen, Bücher dazu gibt es im Bereich Mathematik und Ingenieurwissenschaften sehr viele. Nach Kenntnis derer ist es angeraten in Fachbücher der Regelungstechnik einzusteigen.

Amplitudengang des Tiefpass Phasengang des Tiefpass

Zeigt die grafische Darstellung des Amplitudengang und des Phasengang des Tiefpass. Die Kurven sehen gleich aus wie in der Simulation.

Tiefpass genaue Rechenergebnisse

Grenzfrequenz Tiefpass erster Ordnung

die Ergebnisse sind identisch zur numerischen Simulation, genau gerechnet liegt die Grenzfrequenz bei 3183.1 Hertz. Bei der Grenzfrequenz sinkt die Amplitude am Ausgang auf das 0,7071 fache (1/Wurzel2) und die Phasenverschiebung beträgt exakt -45,000000.... Grad.

Wohlgemerkt und nochmals zur Erinnerung, die komplexe Rechnung ist nur gültig für stationäre sinusförmige Signale im eingeschwungenen Zustand, sich diesen Satz jedesmal aufs neue klar zu machen ist sehr wichtig. Genau genommen ist die komplexe Lösung eine Lösung, die sich aus der Differentialrechnung ergibt.

Lösung mit Differentialgleichungsansatz:

Differentialgleichung Tiefpass

Solch eine Differentialgleichung ist noch einfach zu lösen, damit können beliebige Eingangssignale untersucht werden. Lösungswege und Bücher über diese Mathematik existieren ettliche. Allerdings aus praktischer Sicht, ab einer gewissen Ordnung oder wenn noch nichtlineare Terme hinzu kommen, sind sie nicht mehr analytisch lösbar. Selbst die gern zur Hilfe genommene La Place Transformation stößt an ihre Grenzen, sie ist hilfreich beim Berechnen, man wird aber spätestens feststellen bei der Rücktransformation in den Zeitbereich geht einem oft schon wieder die Luft aus.

Eine Berechnungsmöglichkeit bei Filtern höherer Ordnung ist die komplexe Rechnung und sich auf eingeschwungene sinusförmige Signale zu beschränken. Allerdings kann auch bei komplexer Rechnung und höherer Ordnung, sich diese Berechnung zu ziemlichen Rechenwerken ausweiten, der besondere Nutzen liegt dann darin funktionelle Abhängigkeiten von Variablen zu erkennen. Kommen jedoch nichtlineare Effekte hinzu ist auch die komplexe Rechnung am Ende. Für solche Fälle ist nur noch die numerische Mathematik z.B. per Simulation hilfreich. Neben den vielen Vorteilen wie Einfachheit und Zeitersparnis ist es ein Nachteil der Simulation, daß gerade diese expliziten Abhängigkeiten von Variablen nicht im Detail als Gleichung erkennbar sind. Beide Methoden zu nutzen ist meistens der sinnvollste Weg.

Tiefpass zweiter Ordnung

Tiefpass zweiter Ordnung

Ein Tiefpass zweiter Ordnung, er hat nun zwei Energiespeicher, den Kondensator C1 und die Induktivität L1. Durch den zusätzlichen Energiespeicher wird der Tiefpass in seiner Wirkung stärker, auch die Phasenverschiebung zwischen Eingang und Ausgang erhöht sich.

Der Tiefpass könnte auch ohne den Widerstand R1 aufgebaut werden, es wäre ungedämpfter Tiefpass zweiter Ordnung.

zeigt die Simulation des Tiefpass zweiter Ordnung, sofort sichtbar die Überhöhung bei ca. 2,2 kHz. Die Spannung steigt hier tatsächlich über die Eingangsspannung an. Die Phasenverschiebung verläuft nun sogar bis minus 180 Grad. Der Amplitudenabfall beträgt nun -40dB/Dekade oder -12dB/Oktave.

Abhängig vom Serienwiderstand R1 bestimmt sich die Güte dieses Serienschwingkreises und damit die Höhe des Überschwingers.

wichtige Gleichungen für den Serienschwingkreis

Ein paar Gleichungen passend zu diesem Tiefpass.

  • Die Güte ist Maß für die Überhöhung der Ausgangsamplitude am Punkt der Resonanzfrequenz. Die im Diagramm abgelesene Magnitude ca. 11,05 dB das entspricht etwa 3,57fache Überhöhung, das ist fast identisch zur berechneten Güte von 3,53.

  • Die Resonanzfrequenz berechnet 2,25 kHz - im Diagramm abgelesen 2,204 kHz.

  • Die Bandbreite ist hier definiert als beidseitiger Frequenzbereich um die Erhöhung herum, an deren Flanken die Amplitude bezogen auf das Maximum um -3 dB abgefallen ist.

Von praktischer Bedeutung ist die Auswirkung der gewollten oder auch parasitären Induktivität, die in manchen Tiefpässen ohne ausreichend dämpfendes R, gern zu unerwünschten Überhöhungen führen kann, Power Supply Bypassing ist dazu ein besonders kritisches Thema.

Auch die Übertragungsfunktion des Tiefpaß zweiter Ordnung läßt sich komplex herleiten.

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