Superposition - Überlagerungsmethode nach Helmholtz - Matrizen Lösung

Die Überlagerungsmethode oder auch das Superpositionsprinzip ist eine weitere Methode um lineare elektrische Netzwerke zu lösen. Mit dieser Methode lassen sich auch komplizierte lineare Netzwerke vereinfachen, so daß die Lösung einfacher greifbar wird. Besonders wenn mehrere Spannungsquellen oder Stromquellen im Netzwerk vorhanden sind, ist die Verwendung dieser Methode lohnenswert. Zusätzlich zeigt der Bericht noch wie einfach mittels Matrizen und einem Rechner die Aufgaben gelöst werden können.

Gegeben sei dieses Netzwerk:

Bild 1:

Zwei Spannungsquellen V1 mit 50 Volt und V2 mit 5 Volt

Eine Stromquelle I1 mit 1,5 Ampere

Drei Widerstände R1 mit 200 Ohm, R2 mit 300 Ohm und R3 mit 1000 Ohm.

Das Netzwerk könnte nun in diesem einfachen Beispiel als Ganzes auch sofort berechnet werden nach den Knoten- und Maschenregeln; eine andere Methode in Kombiation mit der Knoten- und Maschenregel ist das Superpositionsprinzip, es kann die Berechnung von Netzwerken vereinfachen oder in manchen Fällen überhaupt erst möglich machen.

Wir haben hier drei aktive Quellen, zwei Spannungsquellen und eine Stromquelle. Die Vereinfachung der Überlagerungsmethode basiert auf einer Vereinfachung des Netzwerkes, in dem zunächst nur eine einzelne Quelle betrachtet wird und alle anderen Quellen unbeachtet bleiben.

In den einzelnen Zweigen des Netzwerks ist der jeweilige tatsächlich fließende Strom die algebraische vorzeichenbewerte Summe aller Einzelströme verusacht durch die jeweilige Quelle, wobei dabei alle nichtbeteiligten Quellen in der jeweiligen Einzelbetrachtung entsprechend abzuschalten sind.

Es sind insgesamt drei Spannungs- oder Stromquellen, somit sind drei verschiedene Rechnungen durchzuführen:

Berechnung 1:

Bild 2:

Die Spannungsquelle V2 wurde nun entfernt und durch einen Kurzschluß ersetzt.

Die Stromquelle I1 wurde einfach ausgebaut.

Du wirst nun zugegen müssen das vereinfachte Netzwerk in Bild 2 ist schon einfacher zu rechnen als Bild 1 ?

In der Schaltung aus Bild 2 können nun die Knoten- und Maschenregeln angewandt werden. Bitte nicht erschrecken über die Fülle, es ist extra sehr ausführlich beschrieben.

Bild 3:

Das Netzwerk hat zwei Zentralmaschen römisch I und römisch II (nicht mehr kleiner machbare Maschen siehe dazu Maschenregel) und zwei Stromknoten A und B.

Jede Zentralmasche liefert eine unabhängige Gleichung, bei den Knoten gilt n-1 = Anzahl verwendbarer Knoten, in diesem Fall 2-1=1 Knoten (siehe dazu Knotenregel). Es steht frei, ob man Knoten A oder B wählt.

Der Vereinfachung läßt man natürlich die leeren "Ex" Drähte der Stromquelle I1 weg und zieht die vielen Knoten aus dem linken Bild zu den effektiven Knoten A und B zusammen. Gerade Anfänger scheitern manchmal an so derart einfachen Dingen, hier Ausführlichkeit halber schön gezeichnet wie zu denken ist.

Die einmal zu Beginn der Rechnung festgelegten Richtungen der Strom- und Spannungspfeile müssen bis zum Ende der gesamten Rechnung beigehalten werden, sonst funktioniert es nicht.

Masche I: Ur2-Uv1+Ur1=0

Masche II: Ur2-Ur3=0

Knoten A: i1-i2-i3=0

Die drei Gleichungen sind nach den Strömen zu lösen, dazu gibt es mehrere Methoden, die einfachste bei dem kleinen Netzwerk ist natürlich die gedanklicher Art:

  • R2 parallel R3=230,769 Ohm

  • Gesamtwiderstand=R1 + R2||R2 das sind dann 430,769 Ohm. Dadurch ist i1 schon bestimmt mit 50 Volt/430,769 Ohm = 0,116 Ampere.

  • i1=0,116 Ampere

  • Dadurch läßt sich der Spannungsabfall an R1 berechnen mit 200 Ohm * 0,116 Ampere = 23,214 Volt.

  • i2  = (50V-23,214V)/300 Ohm sind dann i2=0,0892 A

  • i3 = (50V-23,214V)/300 Ohm sind dann i3= 0,0267 A

das war gerechnet in "Prosa".

Falls alle Widerstände bekannt sind, geht es auch in Matrizenform, dazu werden die Knoten und Maschengleichungen untereinander geschrieben und jeder Strom bekommte eine eigene Spalte, siehe selbst wie das Schema geht, die Gleichungen sind dabei zuerst zu ordnen und Spannungen dabei durch das Produkt aus Widerstand und jeweiligem Strom zu ersetzen :

R1*i1 + R2*i2 + 0*i3 = 50V

0*i1 +  R2*i2 - R3*i3 = 0V

1*i1 -  1* i2  -  1*i3  = 0A

Bist Du damit einverstanden, daß diese Maschen und Knoten mathematisch immer noch die gleichen sind wie oben in rosa Farbe? Sieht zwar kompliziert aus, die Ströme sind aber nun in Spalten geordnet, rechts vom Gleichheitszeichen stehen die bekannten konstanten Größen, das gilt natürlich auch für die 0, ist ja auch bekannt und konstant.

Nun basteln wir das um in Matrizenform:

  Bild 4:

habe es nochmal hingeschrieben, rechts vom Pfeil steht das Gleichungssystem jetzt in Matrizenform. Das kann man selbstverständlich auch von Hand lösen über die Gaußsche Normalform GNF, auf die die Matrize per Zeilenumformungen zu bringen ist, das lassen ich sein und nehme einen etwas komfortableren Taschenrechner, der Bericht beschreibt das Superpositionsprinzip, nicht den Lösungsweg der GNF.

In der großen Matrize stehen nur bekannte konstante Größen, in der ganz rechten stehen auch nur bekannte und konstant Größen, die Matrize mit den Strömen ist die Unbekannte nach der wir jetzt suchen.

Man tippt die Matrizengleichung ein in den Taschenrechner am Beispiel des Hewlett Packard HP 48G:

  • ShiftGrün_Matrix_200_enter_300_enter_0_enter_pfeilrunter_0_enter_300_enter_1000-_enter_1_enter_1-_enter_1-_enter_enter

  • ShiftGrün_Matrix_50_enter_pfeilrunter_0_enter_0_enter_enter

  • swap

  • Division

Schwupp die wupp schon steht das Ergebnis für die gesuchte Matrix der Ströme im Taschenrechner, die oberste Zahl ist i1, Mitte i2 und die ganz unten i3.

i1=0,116071428....Ampere

i2=0,08928571....Ampere

i3=0,02678571....Ampere

Ströme erscheinen selbstverständlich mit richtigem Vorzeichen, man muß nur die zu Anfang festgelegte Richtung des Strompfeiles beachten und darf diese im Verlauf nicht mehr ändern, dann stimmt alles automatisch, in diesem Fall haben wir nur positive Ströme als Ergebnis.

Für was all diesen scheinbaren Aufwand?, ganz einfach: mach mal die Methode "Prosa" bei 5 Spannungsquellen, 3 Stromquellen und 22 Widerständen - viel Spaß sag ich da nur. Mit den mathematischen Methoden ist das alles nur ein akribisches Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen, das Berechnen kann dann ein Rechner übernehmen. Viele scheinbar sehr komplizierte Aufgaben  reduzieren sich mit solchen Methoden auf den Level vom Rasenmähen am Samstag Nachmittag. Die Intelligenz liegt hier nicht primär in der Durchführung der Mathematik, die Intelligenz soll liegen im "Sehen und Verstehen" der Knoten und Maschen, später dann auch im echten Leben.

Manche meiner frühen Lehrkräfte sahen das einst ein wenig anders und machten Schüler wild mit schwer nachvollziehbaren Prosa Zusammenfassungen (das bis zu einem gewissen Level schneller ist) mit ihren alljährlich gleichen Aufgaben an der Tafel und waren gelegentlich sehr stolz darauf die Methode Prosa besser zu können als die auf den Bänken. Ich hatte genau deswegen einst einen tierischen Haß. In meiner Studienzeit hingegen hatte ich das Glück von Professoren belehrt zu werden, die ausführlich die Methoden schulten und intensiv lehrten nach den physikalischen Gesetzen zu denken, dazu gehören eben auch das "Sehen und Verstehen" der Knoten und Maschen, dem bin ich dankbar bis heute.

Berechnung 2:

Aus Bild 1 superpositionieren wir nun die Spannungsquelle V2.

Bild 5:

hier ist nun lediglich die Spannungsquelle V2 aktiv, die Spannungsquelle V1 wurde durch einen Kurzschluß ersetzt, die Stromquelle I1 wieder einfach weggelassen. Es lassen sich wieder Maschen- und Knotengleichungen aufstellen. Ganz wichtig ist es, daß die Laufrichtungen der Spannungsmaschen, die Richtungen der Spannungspfeile und auch die Richtungen der Ströme nicht verändert werden, wieder genauso annehmen wie in Berechnung 1 begonnen wurde.

Bild 6:

die gefundenen Maschengleichungen werden wieder in Matrizenform zur weiteren Verrechnung aufgestellt. Man sieht wieder in der großen Matrize, wie alles spaltenweise geordnet ist nach i1, i2 und i3, die Vorzeichen immer stur beibehalten. Die Einheiten kann man natürlich weglassen, dem Verständnis wegen aber noch mit dabei.

Wir geben ein im Taschenrechner. Diesmal beginnen wir aber mit der Eingabe der Matrix ganz rechts.

  • ShiftGrün_0_enter_pfeilrunter_5-_enter_0_enter_enter

  • ShiftGrün_200_enter_300_enter_0_enter_pfeilrunter_0_enter_300_enter_1000-_enter_1_enter_1-_enter_1-_enter_enter

  • Division

Als Ergebnis erhalten wir:

i1 = 0,0026785....Ampere

i2 = -0,001785.......Ampere

i3 = 0,0044642......Ampere

(Hinweis: wenn man diese langen Zahlen in der Matrix auf dem Display nicht mehr sehen kann, dann Shift Rosa_View drücken und mit den Pfeiltasten toggeln.)

Berechnung 3:

Aus Bild 1 superpositionieren wir nun die Stromquelle I1.

Bild 7:

hier wurden nun die Spannungsquellen V1 und V2 kurzgeschlossen und jetzt treibt nur noch die Stromquelle I1 mit ihrem Strom iq die Schaltung. Auch hier gilt wieder, stur die einmal festgelegten Richtungen der Pfeile beibehalten, auch wenn es hier verwirrend aussieht mit den großen 1,5A und den kleinen Strömen in die gleichen Richtungen - beibehalten und so weiterrechnen.

Bild 8:

wieder die Gleichungen und Matrizen aufgestellt, nach gleichem Verfahren wie bisher.

Der Taschenrechner liefert wieder die Lösungsmatrize für i1, i2 und i3:

i1 = 0,8035714......Ampere

i2 = -0,535714......Ampere

i3 = -0,160714.......Ampere

Berechnung des Gesamtergebnisses:

Aus den drei verschiedenen Lösungmatrizen erhalten wir nun das Gesamtergebnis, in dem wir diese drei Matrizen einfach zusammen addieren. Das Ergebnis sind die Ströme für i1, i2 und i3, wenn in der Schaltung alle Spannungsquellen und die Stromquelle aktiv sind.

i1 = 0,9223214.......Ampere

i2 = -0,448214........Ampere

i3 = -0,129464.......Ampere

Bild 9:

graphisch aufaddiert sieht das dann so aus. Man schreibt die Einzelergebnisse vorzeichenbewertet untereinander und addiert sie einfach auf. Die Summe ist dann das Ergebnis, das dabei erscheinende Vorzeichen bezieht sich auf den ürsprünglich eingeführten Richtungspfeil des jeweiligen Stromes, deswegen müssen diese bis zum Ende der Rechnung beibehalten werden.

Natürlich sollte man das Ergebnis nicht so häßlich stehen lassen, die Vereinfachung ist jetzt aber leicht:

Bild 10:

die aufaddierten Ströme sind nun im Schaltplan eingezeichnet. Da das Einzeichnen von den negativen Strömen i2 und i3 etwas unanschalich wäre, wurden diese jetzt im Vorzeichen invertiert, damit sie positiv sind. Selbstverständlich muss man dann aber auch die Strompfeile mit umdrehen, damit die tatsächliche Richtung wieder stimmt. Auch die Spannungspfeile an R2 und R3 werden nun sinnvollerweise gedreht, damit der Spannungsabfall positiv ist dem nun positiven Strom folgend.

Wie man sieht fließt in die Spannungsquelle V2 sogar Strom hinein, nicht hinaus wie man es zu Anfang annehemen könnte, wenn sie ein Akku wäre, würde er jetzt geladen werden.

Bild 10:

die aufaddierten Ströme sind nun im Schaltplan eingezeichnet. Da das Einzeichnen von den negativen Strömen i2 und i3 etwas unanschalich wäre, wurden diese jetzt im Vorzeichen invertiert, damit sie positiv sind. Selbstverständlich muss man dann aber auch die Strompfeile mit umdrehen, damit die tatsächliche Richtung wieder stimmt. Auch die Spannungspfeile an R2 und R3 werden nun sinnvollerweise gedreht, damit der Spannungsabfall positiv ist dem nun positiven Strom folgend.

Wie man sieht fließt in die Spannungsquelle V2 sogar Strom hinein, nicht hinaus wie man es zu Anfang annehemen könnte, wenn sie ein Akku wäre, würde er jetzt geladen werden.

Überprüfung mit Simulationsprogramm:

Bild 11:

mit einem Simulationspramm, hier mit dem kostenlosen LTSpice (suche unter Design und Software) Programm lassen sich Rechenergebnisse wunderbar überprüfen.

Das Programm zeigt hier die Ströme durch R1, R2 und R3. Das Programm setzt die Strommessung an am Pin 1 der zweipoligen Widerstände, in diesem Fall sind es die nach oben gerichteten Anschlüsse der Widerstände. Der angezeigt Strom ist bei allen drei Strömen negativ, das heißt der Strom fließt aus den Widerständen heraus nach oben weg. Dies entspricht genau den eingezeichneten Strompfeilen in Bild 10.

 

Die Berechnungen waren also richtig.

Anzumerken ist noch bei nicht idealen Spannungsquellen, die einen Innenwiderstand aufweisen, für das Superpositionsprinzip muss der Innenwiderstand der Spannungsquelle nach außen in die Schaltung verlagert werden, er darf nicht mit ausgebaut werden. Genauso bei nicht idealen Stromquellen, der hohe Parallelwiderstand muß in der Schaltung verbleiben. Innenwiderstände der Quellen sind daher wie externe Widerstände zu betrachten.

Das Superpositionsverfahren ist einfach, die Widerstände müssen bekannt sein, sind sie es nicht, so sind sie nach Möglichkeit auf die verschiedensten zuerst zu berechen, so viele Freiheitsgrade muss die Aufgabe hergeben. Die Gefahrenquelle an Fehlern liegt in Vorzeichenfehlern, das passiert sehr schnell - an diesen Stellen muss man höllisch aufpassen, besonders auch beim Aufstellen der Maschen- und Knotengleichungen.

Das Lösen der Aufgabe mittels Matrizen ist nur ein Weg von mehreren um an die Lösung zu gelangen. Die obige Aufgabe läßt sich auch ohne Superposition gleich mit Hilfe der Matrizen lösen, sie ist zur Darstellung der Überlagerung jedoch gut geeignet gewesen:

einfacher als diese Methode mittels Matrizen geht es wohl kaum noch? Außer dem Superpositionsprinzip gibt es noch weitere Methoden wie das Maschenstromverfahren nach Maxwell sowie die Methode Ersatzstromquelle und Ersatzspannungsquelle, das aber ein anderes Mal, es war bereits viel Arbeit das obige Verfahren anschaulich zu erklären. Mit der Zeit entwickelt man ein Gefühl dafür, welche Methode ein geeigneter Lösungsansatz ist, darin liegt auch die Kunst, das Rechnen selbst ist nicht so schwer. Die ganzen Verfahren werden im Grundstudium zur Elektrotechnik gelehrt.

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