Spannungsteiler

Ein Spannungsteiler besteht in der einfachsten Form aus einer Reihenschaltung von zwei Widerständen. Ein Spannungsteiler ist eine Schaltung, um z.B. eine Spannung zu reduzieren. Sie ist eine der häufigsten Schaltungsarten.

Bild zeigt einen einfachen Spannungsteiler bestehend aus zwei ohmschen Widerständen und einer Spannungsquelle.

das Bild zeigt einen einfachen Spannungsteiler, bestehend aus der Spannungsquelle uq, diese liefert die Energie für die Schaltung in Form des elektrischen Stromes i, der an den beiden Energieverbrauchern, den Widerständen R1 und R2 eine Spannung U1 und U2 bewirkt.

Beispielsweise interessiert uns nun die Spannung an R2, dazu lassen sich mit Hilfe der Maschenregel und der Knotenregel Gleichungen herleiten um die Spannung U2 in Abhängigkeit von den Bauteilen zu berechnen.

Berechnung:

Die Berechnung ist einfach. Zunächst werden die Kernmaschen nach der Maschenregel gebildet. Es gibt bei dieser Schaltung nur eine Kernmasche, eine willkürliche Maschenrichtung wird rechtsherum gewählt und eingezeichnet. Einen Stromknoten gibt es hier keinen, aber zu beachten ist, alle Bauteile liegen in Reihe zueinander und werden von dem gleichen Strom i durchflossen, der mit dem Symbol i und dem Richtungspfeil eingezeichnet ist.

Wenden wir die Maschenregel an und laufen dem Zählpfeil entsprechend vorzeichenbewertet rechtsherum:

U1+U2-Uq=0

Da bei der Reihenschaltung alle Bauteile vom gleichen Strom durchflossen sind läßt sich nach dem ohmschen Gesetz sagen:

i = U1/R1 und i = U2/R2 es git auch zur Berechnung des Stromes i = Uq / (R1+R2)

Nun suchen wir die Spannung U2 in Abhängigkeit der bekannten Spannungsquelle und den Widerständen, dazu wird zunächst die gefundene Maschengleichung umgestellt:

U2=Uq-U1 darin kennen wir U1 nicht, nur den Widerstand R1 so verwenden wir das ohmsche Gesetz um ein Stück weiter zu kommen und setzen die Gleichung U1 = R1*i darin ein und erhalten:

U2=Uq-R1*i  wir sind nun schon ein Stück weiter, haben nun aber den unbekannten Strom in der Gleichung, diesen ersetzen wir durch die Gleichung i = Uq / (R1+R2)

gefundene Gleichung endlich ist die Gleichung gefunden, die nur die bekannten Größen enthält, sie kann noch etwas vereinfacht werden.

gesuchte Lösung in umgestellter Form das ist eine bekannte Formel um an einem Spannungsteiler die Ausgsangsspannug auszurechnen.

Ein Beipiel zu der Gleichung mit gegeben: Uq=10 Volt, R1=50 Ohm, R2=100 Ohm

ergibt als Ergebnis

Selbstverständlich lassen sich noch weitere bekannte Gleichungen herleiten, z.B. wenn andere Größen bekannt oder unbekannt sind, die Herleitung dieser Gleichungen erfolgt aber auf dem selben Wege wie gezeigt. Es ist immer dasselbe, heranziehen der Maschengleichung und der Tatsache, daß bei diesem Spannungsteiler alle Bauelemente vom selben Strom durchflossen sind, diese Bedingungen können dann zusammen mit dem ohmschen Gesetz verknüpft werden und man erhält die gesuchten Gleichungen.

Beispiel für einen versteckten Spannungsteiler:

Spannungsteiler gibt es in den verschiedensten Formen, gewollte und ungewollte. Gewollte um beispielsweise eine zu hohe Spannung auf eine niedrigere zu reduzieren, da nur ein Bruchteil der Quellenspanung gebraucht wird. Aber auch ungewollte: z.B. im 230 V Haushaltsnetz, eine große Kabeltrommel vor einem starkem Elektrogerät kann schon einen merklichen Widerstand darstellen und reduziert die Spannung an dem Elektrogerät um ein paar Volt. Der Kupferwiderstand der Trommel entspricht dann im Schaltplan dem Widerstand R1 und das Elektrogerät dem Widerstand R2 und die Steckdose in der Wand der Spannungsquelle Uq. Schwierigkeiten beim Berechnen solcher Schaltungen sollte es nicht geben, mit ein wenig Übung ist das einfach - der schwierigere Teil ist immer die Überlegung - wie ist das Ersatzschaltbild tatsächlich? - dies zu erkennen darin liegt die Schwierigkeit, die jedoch die steigende Erfahrung mit sich bringt, hier hilft nur üben und vor allem: nachdenken. Spannungsteiler begegnen uns überall in der Elektrotechnik, man muß sie nur erkennen.

Belasteter und unbelateter Spannungsteiler:

im bisherigen Beispiel haben wir von einem unbelasteten Spannungsteiler gesprochen. Das bedeutet den Widerstand R2 haben wir durch unsere Beobachtung in seinem Wert nicht verändert. Eine Beobachtung von Spannung kann beispielsweise mit einem Meßgerät erfolgen, in aller Regel sollen Meßgeräte die zu beobachtende Größe nur abschätzen, messen jedoch nicht auch verändern. Ist beispielsweise der Widerstand des Meßgerätes sehr groß gegenüber dem Widerstand R2 so ist die verfälschende Wirkung des Meßgerätes sehr klein auf die Spannung an R2. Meßgeräte verfälschen immer die zu messende Größe. Die Frage dazu ist nur - um wieviel? bei richtiger Wahl des Meßinstruments wird sie in den meisten Fällen unbedeutend gering. Das klingt auf dem Papier logisch und einleuchtend wird in vielen Fällen aber aus Unverständnis und der Hoppla Hopp Mentalität misachtet und führt zu Fehlmessungen.

Belasteter Spannungsteiler:

zeigt einen belasteten Spannungsteiler

das Bild zeigt einen belasteten Spannungsteiler. Die Belastung durch den Widerstand R3 kann gewollter Natur sein, beispielsweise mit einem parallelen Lastwiderstand, der angeklemmt wird um aus dem Spannungsteiler versorgt zu werden. Er kann aber auch ungewollt sein, beispielsweise im Form eines Meßgerätes oder auch einer Leitung, die daran angeschlossen ist. Wie es auch immer ist, egal, man muß sich nur im Klaren sein, daß alles was man an einen Spannungsteiler anschließt, den ursprünglichen unbelasteten Spannungsteiler verändert und schaltungstechnisch in einen belasteten überführt. Diese Tatsache muß berücksichtigt werden. Die Berechnung für einen belasteten Spannungsteiler ist natürlich eine andere als im unbelasteten Zustand. Die Fragestellung sollte immer zuerst sein - in welchen Größenverhältnissen beeinflußt meine angeschlossene Last R3 den unbelasteten Spannungsteiler?

Die Berechnung des belasteten Spannungsteilers geschieht auch wieder mittels den Gleichungen gewonnen aus Maschen- und Knotenregel.

U1+U2-Uq=0 erste Kernmasche

U3-U2=0 zweite Kernmasche

Die Schaltung hat zwei Stromknoten, erkennbar an den runden Kügelchen wo die Leitungen aneinanderstoßen. Nach der Knotenregel können n-1 Knoten verwendet werden. Die gesamte Knotenanzahl n ist 2, daher 2-1=1, ein Knoten kann verwendet werden. Es ist egal welcher von beiden nun in die Berechnung einfließt.

+i1-i2-i3=0 die  vorzeichenbewerte Summe aller Ströme eines Knotenpunktes

Wir kennen wieder Uq, R1, R2 und R3 und suchen die Spannung U2 und U3, die ja gleich sein muß nach der zweiten Kernmasche

Sinnvoll ist es nun die unbekannten Ströme mit den restlichen bekannten Größen den Widerständen zu verknüpfen. Dazu hilft das ohmsche Gesetz.

aus i1-i2-i3=0 wird so U1/R1 - U2/R2 -U3/R3 = 0

nun sind drei unabhängige Gleichungen vorhanden, die alle vorab bekannten Größen enthalten. Es sollte immer versucht werden alle bekannten Größen in das Gleichungssystem einfließen zu lassen und gleichzeitig versuchen die unbekannten zu elimieren. Das Lösungsverfahren ist nun das Gaussche Eliminierungsverfahren, bei der eine Gleichung in die andere eingesetzt wird, bis zum Ende nur noch eine Gleichung übrig bleibt. Eine alternative Lösungsmethode wäre die Lösung über Matrizen, die aber erst bei größeren Netzwerken sehr interessant wird.

Gleichung A: U1+U2-Uq=0

Gleichung B: U3-U2=0

Gleichung C: U1/R1 - U2/R2 -U3/R3 = 0

Nun ist U1 eine Spannung, die weder gegeben ist und die uns auch wenig interessiert, wie eliminieren sie indem wir Gleichung A nach ihr auflösen und die aufgelöste Gleichung in allen anderen einsetzen, hier können wir sie nur in Gleichung C einsetzen, da nur nur in C auch U1 enthalten ist, B bleibt deswegen unverändert. So bleiben nun nur noch zwei Gleichungen übrig, aus der B wird die unveränderte D und A und C verschmelzen zu E.

Gleichung D: U3-U2=0

Gleichung E:

Als nächsten Schritt legen wir fest wollen wir U2 oder U3 eliminieren, es ist egal - sie sind beide gleich, eliminieren wir U2, so daß U3 übrig bleibt. Dazu wird jetzt ganz einfach überall in der Gleichung E, die Variable U2 durch U3 ersetzt, da ja nach Gleichung D gilt U2=U3. Wir erhalten daher die neue Gleichung F.

Gleichung F:

Selbstverständlich läßt sich die Gleichung F noch weiter vereinfachen und nach dem gesuchten U3 auflösen:

Zahlenbeispiel:

mit der gefundenen Gleichung für U3 lassen sich Zahlenbeispiele durchrechnen. Zunächst nehmen wir die Werte Uq=10 V, R1=50 Ohm, R2=100 Ohm wie im unbelasteten Fall und schliessen z.B. ein Multimeter R3 daran an, wir nehmen einen Innenwiderstand von R3 = 1 MegaOhm an. Im Fall des unbelasteten Spannungsteilers war das Ergebnis für U2= 6 2/3 Volt. Wie ändert sich das Ergebnis durch das Multimeter? sicherlich nicht viel - aber immerhin ein wenig wie wir gleich sehen werden. Wir setzen die Werte in der Geichung ein.

leicht erkennbar, das Ergebnis sind nicht mehr exakt 6 2/3 Volt wie im unbelasteten Spannungsteiler, nein es existiert eine leichte Abweichung von den idealen 6 2/3 Volt, der verursacht wird durch den Innenwiderstand R3 des am Spannungsteiler angeschlossenen Multimeters.

schon bei R3=2000 Ohm erhält man eine deutliche Abweichung, obwohl man denkt 2000 Ohm sind doch so viel.

Um das Beispiel zu vollenden, läßt sich die gefundene Gleichung für U3 auch als Funktion von R3 darstellen.

Diagramm eines belasteten Spannungsteiler

das Diagramm zeigt, bis in welche Bereiche R3 gesenkt werden kann ohne die Ausgangsspannung des unbelasteten Spannungsteilers stark zu verfälschen. Die x-Achse ist logarithmisch abgebildet.

Die Darstellung des Spannungsteilers als Diagramm ist für Profis langweilig, auch ein Anfänger könnte sich bereits langweilen - jedoch sei dieser gewarnt immer nur nach fertigen Formeln in Tabellenbüchern und Formelsammlungen zu suchen. Er kann es dann zwar ausrechnen und interpretieren, er sollte aber auch unbedingt mathematisch dazu in der Lage sein solche Sachen wie eine beliebige Größe in der Abhängigkeit einer anderen beliebigen Größe z.B. als Diagramm darzustellen. Zum Beispiel die Leistung oder Spannung am Widerstand R1 als Funktion des Stromes i3 findet er bestimmt in keiner Formelsammlung, falls er es doch braucht, hat er ein Problem. Meine erlebten Erfahrungen zeigen z.B. besonders manche Berufsschüler neigen dazu sich vor angewandter Mathematik zu verstecken und das Heil in Formeln zu suchen, die andere geschrieben haben. Oft wird Mathematik inhaltslos ohne Bezug zur Wirklichkeit gelehrt, dafür steinalte Dinge aus der Elektrotechnik bis ins Detail durchgekaut, die später kaum jemand braucht, bspw. einen asynchronen Rückwärtszähler usw., anstatt die Methoden zur Grundlagenelektrotechnik intensiver zu lehren.

Ausblick auf Spannungsteiler mit Widerständen, Induktivitäten und Kondensatoren

spätestens jetzt sind wir bei den passiven Filtern, den Tiefpässen, Hochpässen, Bandsperren und Bandpaßfiltern angelangt. Sie lassen sich genau nach den selben Methoden mit Knoten und Maschen berechnen. Die Berechnungen müssen jedoch um die komplexe Rechnung für sinusförmige Größen oder um Differentialgleichungen erweitert werden. Der Ansatz jedoch um an die Gleichungen zu gelangen ist der selbe wie mit ohmschen Widerständen. Passive Filter sind im Prinzip auch nur Spannungsteiler, jedoch mit Bauteilen, die einen komplexen Widerstand haben, der sich je nach Frequenz ändert. Auch hier gibt es wieder belastete und unbelastete Spannungsteiler. Ein belasteter Spannungsteiler ist daher auch nur ein vergrößertes Netzwerk verglichen mit einem unbelasteten, das gilt für passive Filter wie auch für ohmsche Spannungsteiler. Bei den Spannugsteilern mit Kondensatoren und Induktivitäten spricht man deswegen von Filtern, da die Bauteile ihren Widerstand über die Frequenz ändern, und so je nach Frequenz z.B. mehr oder weniger durchlassen oder stark sperren - eben filtern. Es sind frequenzabhängige Spannungsteiler oft aus größeren Netzwerken bestehend.

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