Maschenregel

Einführung:

Was ist das? Sie ist eine der wichtigsten Regeln aus der Elektrotechnik ist die Maschenregel, sie wird auch die 2. Kirchhoffsche Regel genannt. Sie findet Anwendung in allen Bereichen der Elektrotechnik und ihre Anwendung und das insbesondere Verständnis dazu ist von elementarster Wichtigkeit. Nach Kenntnis von Strom, Spannung und Widerstand, ist sie ein "Muss" für jeden Anfänger, ohne das Verständnis dazu, ergibt es für einen Anfänger eigentlich keinen Sinn mit der Elektrotechnik tiefer fortzufahren. Ein Trost, die Regel zu verstehen ist ganz leicht.

Alles folgende gezeigte mag zwar äußerst einfach, sonnenklar und für viele äußerst langweilig aussehen, klar, es ist aber sehr wichtig für Anfänger dieses Verfahren zu kapieren. Bei komplizierteren Schaltungen mit vielen Maschen und Knoten reicht die einfache übliche Art "dieses üblichen im Kopf zu lösen" nicht mehr aus und das gezeigte Verfahren ist hilfreich. So ist es sinnvoll dies von Anfang an zu verstehen - egal ob Hobbiest, Lehrling, Amateur oder Professor, es sind einfach Grundlagen der Elektrotechnik, vergleichend zu wissen im Straßenverkehr wird in Deutschland auf der rechten Seite gefahren.

Mathematischer Ansatz:

nicht erschrecken, wenn es gleich mathematisch losgeht, abwarten - ganz einfach.

"Die Summe aller vorzeichenbewerteten Spannungen einer Masche ist immer gleich Null"

An dem folgenden Schaltungsbeispiel soll dieser Satz erklärt werden.

Schaltungsbeispiel:

einfacher Stromkreis

Bild 1 zeigt einen einfachen Stromkreis. Die verwendeten Bauteile werden zur Vereinfachung abgekürzt. Auf der linken Seite der Zeichung befindet sich eine Quelle (z.B. eine Batterie, Netzgerät oder ähnliches). Die Spannungsquelle erhält eine willkürliche Abkürzung "Uquell". Diese Abkürzung soll dann auch in der mathematischen Gleichung verwendet werden. Auf der rechten Seite der Zeichnung befinden sich zwei Widerstände, die die willkürliche Bezeichnung "R1 und R2" erhalten.

Überall innerhalb dieses Stromkreis fließt der gleiche Strom "I", zur Darstellung der Richtung in welcher der Strom fließt, dient der kleine Pfeil auf dem Draht. Nun definiert man ganz einfach willkürlich der Strom fließt von plus + nach minus -, an der Quelle legt man zur Kennzeichnung der Spannung einen Spannungspfeil an. Dieser Pfeil zeigt von plus nach minus.

Nach dem ohmschen Gesetz ergibt sich die Spannung an einem Widerstand zu U=R*I. Auch hier legt man wieder einen Spannungspfeil an, der auch hier wieder von plus nach minus zeigt. (Die Pfeilspitze zeigt immer zum negativeren Punkt)

Welchen Sinn haben diese Pfeile? Sie sind nur eine bewährte Denkhilfe zum Aufstellen der Maschengleichung. Zur Berechnung unbekannter Spannungen innerhalb eines Stromkreises.

 

Richtung festlegen für eine Masche

Bild 2 zeigt nun einen hellgrünen Kringel, was ist den das? Wieder nur eine Denkhilfe um die Maschenregel anzuwenden.

Um die Maschenregel anzuwenden, muß eine "mathematische Richtung" der Maschenregel willkürlich definiert werden. In dem gezeigten Fall geht es rechts herum, es könnte ebenso links herun definiert werden, dazu müßte sich dann die Pfeilspitze des Kringels am anderen Ende befinden.

Der Kringel ist eine Denkhilfe und ein Plan für "die Wanderung", "die Laufrichtung" durch unsere Masche.

Aufstellen der Maschengleichung:

dazu denkt man sich folgendes: man sei ein kleines Männchen (oder Frauchen), das sich irgendwo auf einen Draht im Schaltplan setzt, egal wo immer, und er fängt  an zu laufen. In welche Richtung soll er denn laufen? Genau in die Richtung, die durch den Kringel definiert worden ist, in unserem Fall rechts herum im Uhrzeigersinn. Beginnen wir nun zu laufen "in der linken oberen Ecke".

Wir laufen entlang des oberen Drahtes, nichts passiert. Nun sind wir am Widerstand R1 angelangt und sehen dort einen Spannungsabfall U1. Dieser Spannungsabfall U1 zeigt mit seiner Pfeilspitze genau in die gleiche Richtung wie wir laufen, rechts herum. Was ist zu tun, wir müssen diesen Spannungsabfall an U1 "vorzeichenbewerten", wir definieren willkürlich wie folgt: dem hellgrünen Kringel folgende Spannungspfeile einfach mathematisch als positiv.

Wir notieren: +U1

Wir laufen weiter im Uhrzeigersinn und gelangen zum Widerstand R2, auch hier fällt wieder eine Spannung U2 ab, wieder in der selben Richtung wie der Kringel.

Wir notieren: +U2

Wir laufen weiter rechts herum und gelangen nun zur Spannungsquelle Uquell. Hoppla, diesmal rennen wir voll die Spitze des Pfeiles hinein! Dieser Spannungsabfall hat genau die entgegengesetze Richtung wie unser Kringel. Wir müssen den Spannungsabfall Uquell daher negativ bewerten.

Wir notieren: -Uquell

Nun kommt endlich der Satz "Die Summe aller vorzeichenbewerteten Spannungen in einer Masche ist immer gleich Null" ins Spiel. Tun wir es doch, wir zählen einfach unsere notierten Ergebnisse zusammen und setzen sie gleich Null. Mathematisch sieht das dann so aus:

U1 +U2 - Uquell = 0

Worin liegt nun der Nutzen einer solchen Gleichung?

Man kann damit rechnen um unbekannte Spannungen oder Ströme zu ermitteln. Beispielsweise die Spannungsquelle sei eine Autobatterie mit 12 Volt, an der zwei in Reihe (hintereinander, nicht parallel) geschaltete Verbraucher (R1 und R2) angeschlossen sind (wie Bild 1 und 2).

Annahme: wir haben ein Meßgerät (Voltmeter) und messen die Spannung am R1, z.B. wir messen 8 Volt. Leider können wir mit unserem Meßgerät den Widerstand R2 aber nicht erreichen, wir kommen nicht dran die Meßkabel sind zu kurz, wollen die Spannung aber unbedingt wissen. Wie groß ist sie denn nun?

Einfach ausrechen, dazu benutzen wir die ermittelte Maschengleichung, die einfach nach U2 aufzulösen ist. Aus U1+U2-Uquell=0 wird:

U2 = Uquell - U1

Einsetzen der bekannten und gemessenen Werte ergibt:

U2 = 12 Volt - 8 Volt

Ergebnis natürlich:

U2 = 4 Volt

Zufällig kann man in unserem praktischen Beispiel am R2 einen aufgedruckten Wert ablesen von 2 Ohm, nach dem ohmschen Gesetz weiß man dann auch den Strom I = 4 Volt / 2 Ohm, ergibt I = 2 Ampere. Nur durch die Anwendung der Messung in Verbindung mit der aufgestellten Maschengleichung haben wir herausgefunden der Strom in dieser Schaltung beträgt 2 Ampere. Das ist doch ein schönes Ergebnis! nur durch Mathematik ermittelt.

Was ist zu tun bei mehreren Maschen:

auch das ist ganz einfach.

drei Zentral oder Kernmaschen

Bild 3 zeigt nun mehrere Maschen, genaugenommen drei "Zentral-" oder "Kernmaschen". Das ist die kleinste Einheit oder die kleinsten Maschen, die keine weiteren Maschen mehr innerhalb enthalten.

Bei der Masche A und B wurde der Kringel beliebig rechts herum gewählt, bei der Masche C beliebig nun links herum gewählt, das spielt keine Rolle. Es ist nur wichtig während des Aufstellens der Maschenrichtung diese während der ganzen Rechnung unverändert zu lassen. Es spielt auch z.B. keine Rolle ob ein Strompfeil die gleiche Richtung hätte wie ein Spannungspfeil, falls unterschiedlich, so kommt lediglich ein negatives Vorzeichen als Ergebnis heraus.

Masche A: U1 +U2 - Uquell1 = 0

Masche B: Uquell2 -U2 - U1 - U3 - U4 = 0

Masche C: Uquell2 - U5 - U7 - U6 -U4 = 0

(man beachte hier Uquell1,2 = U1,2 im Schaltbild)

Dies sind nun drei Zentralmaschen, drei Gleichungen, die für weitere Berechnungen in einem Gleichungssystem verwendet werden können.

Nun liese sich noch eine weitere Masche aufstellen? Ja, z.B. eine Masche ganz außen herum - (Annahme Kringel rechtsrum): -Uquell1-U3+U6+U7+U5=0 Nur leider ist diese Masche wertlos. Warum? Weil sie sich aus den anderen drei Zentralmaschen herleiten läßt.

Willst Du dafür den Beweis sehen, das sich außenliegende Maschen aus Kernmaschen herleiten lassen?

Masche B und C läßt sich gleichsetzen Uquell2-U2-U1-U3-U4=Uquell2-U5-U7-U6-U4 (Uquell2 und U4 kürzt sich heraus und übrig bleibt:)

-U2-U1-U3=-U5-U7-U6 diese Gleichung läßt sich nun umstellen und mit Masche A verknüpfen.

U1+U2+U3-U5-U6-U7=0 mit Masche A 0=U1+U2-Uquell1 ergibt: U1+U2+U3-U5-U6-U7=U1+U2-Uquell1, hier läßt sich U1 und U2 kürzen:

U3-U5-U6-U7=-Uquell1 umgestellt nach 0:

-Uquell1-U3+U5+U6+U7=0 und das ist das gleiche Ergebnis wie aus der großen umlaufenden Masche!

Für die Berechnung in einem Gleichungssystem sind daher nur kleinste "Zentral-" oder "Kernmaschen" von Bedeutung. In anderen Worten: eine Schaltung liefert nur soviele Maschengeichungen wie Kernmaschen vorhanden sind.

Gilt die Maschenregel auch für nichtlineare Bauteile?:

JA sie gilt immer für alle Bauteile.

Maschenregel gilt auch für nichtlineare Bauteile

Masche A: U1 +UC1 - Uquell1 = 0

Masche B: Uquell2 -UC1 - U1 - UD1 - U4 = 0

Masche C: Uquell2 - U5 - UL1 - U6 -U4 = 0

werden die Ströme hinzugenommen gilt:

Masche A: U1 +UC1 - Uquell1 = 0

Masche B: Uquell2 - 1/C1*(integral i*dt) - U1 - uD1(f)i - U4 = 0

Masche C: Uquell2 - U5 - L1*di/dt - U6 -U4 = 0

Die Maschenregelregel gilt für alle Bauteile ob linear oder nichtlinear. Für unser Beispiel:

  • werden hier die Diodenspannung ersetzt durch eine Funktion der Diodenspannung  in Abhängigkeit des Diodenstroms, (erhältlich aus dem Datenblatt oder einer Messung).

  • die Spannung an der Induktivität ist die erste Ableitung des Stroms multipliziert mit der Induktivität.

  • die Spannung am Kondensator ist die Integration des Stromes multipliziert mit dem Kehrwert der Kapazität.

  • die Maschenregel gilt für alle Frequenzen von Gleichspannung bis HF, wobei bei Hochfrequenz unbedingt die Wellentheorie hinzugenommen werden muss. Wird das zeitliche Verhalten mitberücksichtigt gilt auch bei HF die Maschenregel.

  • die Berücksichtigung des zeitlichen Verhaltens wird dann bedeutend wenn die Wellenlänge der verwendeten Frequenz eine Größenordnung erreicht, bei der die Wellenlänge bereits an die Größe der Abmessungen der Bauteile und Leitungen heranreicht.

  • der Anfänger sollte sich merken, die Maschenregel gilt für die gesamte Spanne der Elektrotechnik. Sie ist eine Herleitung aus der Wellentheorie, aus den "Maxwellschen Gleichungen". Für HF finden dann diese ihre Anwendung. Die Maschenregel ist eine Vereinfachung dieser, für die meisten Anwendungen jedoch eine exzellente vollkomen ausreichende Vereinfachung.

Wann gibt es Schwierigkeiten mit der Maschen und Knotenregel?

Nicht mit der Gültigkeit der Maschenregel selbst, nein, sondern mit dem "Erkennen" und den "Verständnis" wo liegen die Maschen einer Schaltung. Das erfordert Übung und Erfahrung. Insbesondere mit steigender Frequenz, kleineren Strömen, höheren Widerständen, extremeren Werten usw. wird es zunehmend schwieriger die korrekten Maschen zu erkennen. Manchmal glaubt man die richtigen Maschen gefunden zu haben, hat sie aber doch noch nicht! - Da man den ein oder anderen parasitären Effekt vergessen hat im Ersatzschaltbild mit zu berücksichtigen, der aber doch sehr bedeutend ist und einen wesentlichen Einfluß auf das Ergebnis hätte. Das bedeutet aber nicht, daß die Maschenregel nicht mehr gilt, es zeigt nur, daß die Masche falsch aufgestellt worden ist oder oft noch was wichtiges fehlt im Ersatzschaltbild und damit auch in der Masche und den Knoten. Die Schwierigkeit liegt darin das richtige Ersatzschaltbild zu finden, aber das sei nur Rande erwähnt, das merkt man bald selbst.

Für viele Anwendungen sind die Maschen- und Knotenregeln aber doch sehr geeignete Hilfsmittel um Probleme zu lösen oder um bestimmte Systeme erst in ihrer Funktion verstehen können. Insbesondere Abhängigkeiten (z.B. Übertragungsfunktionen) lassen sich damit gut ableiten oder erklären.

Dem Anfänger oder weniger Geübten kann empfohlen werden dazu Übungsaufaufgaben aus Büchern zur Elektrotechnik zu lösen. Am Anfang tut man sich noch etwas schwer damit, mit der Zeit langweilt es total - das ist dann der Zeitpunkt an dem es verstanden worden ist. Wenn dann noch die Fähigkeit reift aus fertigen Systemen selbst Ersatzschaltbilder zu erstellen und selbst Maschen und Knoten aufzustellen - dann hast Du es geschafft. Viel Erfolg.

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