Knotenregel

Einführung:

Was ist das? Sie ist eine der wichtigsten Regeln aus der Elektrotechnik ist die Knotenregel, sie wird auch die 1. Kirchhoffsche Regel genannt. Sie findet Anwendung in allen Bereichen der Elektrotechnik und ihre Anwendung und das insbesondere Verständnis dazu ist von elementarster Wichtigkeit. Nach Kenntnis von Strom, Spannung und Widerstand, ist sie ein "Muss" für jeden Anfänger, ohne das Verständnis dazu, ergibt es für einen Anfänger eigentlich keinen Sinn mit der Elektrotechnik tiefer fortzufahren. Ein Trost, die Regel zu verstehen ist ganz leicht.

Alles folgende gezeigte mag zwar äußerst einfach, sonnenklar und für viele äußerst langweilig aussehen, klar, es ist aber sehr wichtig für Anfänger dieses Verfahren zu kapieren. Bei komplizierteren Schaltungen mit vielen Maschen und Knoten reicht die einfache übliche Art "dieses üblichen im Kopf zu lösen" nicht mehr aus und das gezeigte Verfahren ist hilfreich. So ist es sinnvoll dies von Anfang an zu verstehen - egal ob Hobbiest, Lehrling, Amateur oder Professor, es sind einfach Grundlagen der Elektrotechnik, vergleichend zu wissen im Straßenverkehr wird in Deutschland auf der rechten Seite gefahren.

Mathematischer Ansatz:

nicht erschrecken, wenn es gleich mathematisch losgeht, abwarten - ganz einfach.

"Die Summe aller vorzeichenbewerteten Ströme eines Knotens ist immer gleich Null"

An dem folgenden Schaltungsbeispiel soll dieser Satz erklärt werden.

Schaltungsbeispiel:

Knotenregel in einem einfachen Netzwerk

Bild 1 zeigt einen einfachen Stromkreis. Die verwendeten Bauteile werden zur Vereinfachung abgekürzt. Auf der linken Seite der Zeichung befindet sich eine Quelle (z.B. eine Batterie, Netzgerät oder ähnliches). Die Bauteile werden mit R1 bis R5 abgekürzt. Zum Beispiel fließt durch R2, R4 und R5 derselbe Strom, dieser kann kann beispielsweise i2 genannt werden. Bauteile, die in Reihe geschaltet sind werden vom gleichen Strom durchflossen.

Es lassen sich nun zwei Knotengleichungen aufstellen:

für Knoten A gilt vorzeichenbewertet: i1 - i2 - i3 = 0

für Knoten B gilt vorzeichenbewertet: -i1 + i2 + i3 = 0

Dabei werden Ströme, die in den Knoten hineinfließen mit positvem Vorzeichen bewertet, welche die vom Knoten wegfließen mit negativem Vorzeichen.

Dem Kenner oder mathematisch Geübten fällt sofort auf die gewonnenen Gleichungen aus Knoten A und B sind identisch i1-i2-i3 = -i1+i2+i3. Das kommt daher, daß pro Netzwerk nur "n" Knoten -1, Knoten verwendbar sind. Im Beispiel aus Bild 1 sind es zwei Knoten, d.h 2-1=1 verwendbarer Knoten. Hätte das Netzwerk sieben Knoten, könnten sechs Knotengleichungen aufgestellt werden.

Für die Berechnung in einem Gleichungssystem sind daher nur "n"-1 Knoten von Bedeutung. In anderen Worten: eine Schaltung liefert immer eine Gleichung weniger als "n" Knoten vorhanden.

Anwendung findet hier auch die Maschenregel, die Richtungen der Spannungspfeile wurde hier den Strömen entsprechend gewählt. Sinnvollerweise sollte ein positiver Strom an einem Widerstand auch einen positiven Spannungsabfall ergeben, es ist sinnvoll und hilfreich die Richtung so vorzuwählen. Man muß sich nicht daran halten, man kann die Richtungen natürlich auch willkürlich verschieden wählen, am Ende der Berechnung kommt automatisch das richtige dabei heraus. Es ist nur wichtig die zu Beginn der Berechnung festgelegten Definitionen während der gesamten Berechnung beizubehalten und nicht nachträglich zu ändern.

Netzwerk kann auch nichtlineare Bauteile enthalten

Bild 2 zeigt nun ein Netzwerk, daß aus insgesamt drei Knoten besteht, Knoten A, B und C. Da wir "n" -1 Knoten = 2 Knoten verwenden können. Wählen wir beliebig Knoten A und Knoten C aus gilt für:

Knoten A: i1 - i2 - i3 = 0 Ampere

Knoten C: i2 - id - i4 = 0 Ampere

diese beiden Knoten liefern nun zwei verwendbare Gleichungen für weitere Berechnungen, z.B. in Verbindung mit der Maschenregel lassen sich nun unbekannte Ströme, Spannungen und Widerstände im Netzwerk lösen.

Die Knotenregel gilt für alle Bauteile ob linear oder nichtlinear. In unserem Beispiel:

  • werden hier die Diodenströme ersetzt durch eine Funktion des Diodenstroms  in Abhängigkeit der Diodenspannung, (erhältlich aus dem Datenblatt oder einer Messung).

  • die Knotenenregel gilt für alle Frequenzen von Gleichspannung bis HF, wobei bei Hochfrequenz unbedingt die Wellentheorie hinzugenommen werden muss. Wird das zeitliche Verhalten mitberücksichtigt gilt auch bei HF die Maschenregel.

  • die Berücksichtigung des zeitlichen Verhaltens wird dann bedeutend wenn die Wellenlänge der verwendeten Frequenz eine Größenordnung erreicht, bei der die Wellenlänge bereits an die Größe der Abmessungen der Bauteile und Leitungen heranreicht.

  • der Anfänger sollte sich merken, die Knotenregel gilt für die gesamte Spanne der Elektrotechnik. Sie ist eine Herleitung aus der Wellentheorie. Die Knotenregel ist eine Vereinfachung dieser, für die meisten Anwendungen jedoch vollkomen ausreichend.

Wann gibt es Schwierigkeiten mit der Knoten und Maschenregel?

Nicht mit der Gültigkeit der Knotenenregel selbst, nein, sondern mit dem "Erkennen" und den "Verständnis" wo liegen die Knoten einer Schaltung. Das erfordert Übung und Erfahrung. Insbesondere mit steigender Frequenz, kleineren Strömen, höheren Widerständen, extremeren Werten usw. wird es zunehmend schwieriger die korrekten Knoten zu erkennen. Manchmal glaubt man die richtigen Knoten gefunden zu haben, hat sie aber doch noch nicht! - Da man den ein oder anderen parasitären Effekt vergessen hat im Ersatzschaltbild mit zu berücksichtigen, der aber doch sehr bedeutend ist und einen wesentlichen Einfluß auf das Ergebnis hätte. Das bedeutet aber nicht, daß die Knotenregel nicht mehr gilt, es zeigt nur, daß der Knoten falsch aufgestellt worden ist. Die Schwierigkeit liegt darin das richtige Ersatzschaltbild zu finden, aber das sei nur Rande erwähnt, das merkt man bald selbst.

Für viele Anwendungen sind die Maschen- und Knotenregeln aber doch sehr geeignete Hilfsmittel um Probleme zu lösen oder um bestimmte Systeme erst in ihrer Funktion verstehen können. Insbesondere Abhängigkeiten (z.B. Übertragungsfunktionen) lassen sich damit gut ableiten oder erklären.

Dem Anfänger oder weniger Geübten kann empfohlen werden dazu Übungsaufaufgaben aus Büchern zur Elektrotechnik zu lösen. Am Anfang tut man sich noch etwas schwer damit, mit der Zeit langweilt es total - das ist dann der Zeitpunkt an dem es verstanden worden ist. Wenn dann noch die Fähigkeit reift aus fertigen Systemen selbst Ersatzschaltbilder zu erstellen und selbst Maschen und Knoten aufzustellen - dann hast Du es geschafft. Viel Erfolg.

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